Labeling Subway Lines

Graphical features on map, charts, diagrams and graph drawings usually must be annotated with text labels in order to convey their meaning. In this paper we focus on a problem that arises when labeling schematized maps, e.g. for subway networks. We present algorithms for labeling points on a line with axis-parallel rectangular labels of equal height. Our aim is to maximize label size under the constraint that all points must be labeled. Even a seemingly strong simplification of the general point-labeling problem, namely to decide whether a set of points on a horizontal line can be labeled with sliding rectangular labels, turns out to be weakly NPcomplete. This is the first labeling problem that is known to belong to this class. We give a pseudo-polynomial time algorithm for it. In case of a sloping line points can be labeled with maximum-size square labels in O(n log n) time if four label positions per point are allowed and in O(n 3 log n) time if labels can slide. We also investigate rectangular labels

Monochromatic geometric k-factors for bicolored point sets with auxiliary points

Given a bicolored point set S, it is not always possible to construct a monochromatic geometric planar k-factor of S. We consider the problem of finding such a k-factor of S by using auxiliary points. Two types are considered: white points whose position is fixed, and Steiner points which have no fixed position. Our approach provides algorithms for constructing those k-factors, and gives bounds on the number of auxiliary points needed to draw a monochromatic geometric planar k-factor of S

Monochromatic geometric k-factors in red-blue sets with white and Steiner points

We study the existence of monochromatic planar geometric k-factors on sets of red and blue points. When it is not possible to find a k-factor we make use of auxiliary points: white points, whose position is given as a datum and which color is free; and Steiner points whose position and color is free. We present bounds on the number of white and/or Steiner points necessary and/or sufficient to draw a monochromatic planar geometric k-factor

Cover contact graphs

We study problems that arise in the context of covering certain geometric objects called seeds (e.g., points or disks) by a set of other geometric objects called cover (e.g., a set of disks or homothetic triangles). We insist that the interiors of the seeds and the cover elements are pairwise disjoint, respectively, but they can touch. We call the contact graph of a cover a cover contact graph (CCG). We are interested in three types of tasks, both in the general case and in the special case of seeds on a line: (a) deciding whether a given seed set has a connected CCG, (b) deciding whether a given graph has a realization as a CCG on a given seed set, and (c) bounding the sizes of certain classes of CCG’s. Concerning (a) we give efficient algorithms for the case that seeds are points and show that the problem becomes hard if seeds and covers are disks. Concerning (b) we show that this problem is hard even for point seeds and disk covers (given a fixed correspondence between graph vertices and seeds). Concerning (c) we obtain upper and lower bounds on the number of CCG’s for point seeds

Cover Contact Graphs

Es una ponencia presentada al 15th International Symposium on Graph Drawing (2007)We study problems that arise in the context of covering certain geometric objects (so-called seeds, e.g., points or disks) by a set of other geometric objects (a so-called cover, e.g., a set of disks or homothetic triangles). We insist that the interiors of the seeds and the cover elements are pairwise disjoint, but they can touch. We call the contact graph of a cover a cover contact graph (CCG). We are interested in two types of tasks: (a) deciding whether a given seed set has a connected CCG, and (b) deciding whether a given graph has a realization as a CCG on a given seed set. Concerning task (a) we give efficient algorithms for the case that seeds are points and covers are disks or triangles. We show that the problem becomes NP-hard if seeds and covers are disks. Concerning task (b) we show that it is even NP-hard for point seeds and disk covers (given a fixed correspondence between vertices and seeds).German Research Foundation WO 758/4-

Problemas de etiquetado complejidad computacional

El etiquetado es una de las grandes áreas de investigación dentro de la Geometría Computacional. Así lo avalan, tanto la gran cantidad de trabajos que, motivados por sus aplicaciones en diferentes áreas como la cartografía, se elaboran por parte de la comunidad científica internacional, como el gran número de conferencias y encuentros que sob re la materia se realizan periódicamente. Este interés queda refrendado por el hecho de que la ACM lo incoropora como área preferente de investigación dentro del campo de la Geometría Computacional. Dentro de este campo, y debido a la enorme complejidad de sus problemas, aparecen multitud de variantes del problema general. Una de estas variantes es la consistente en el etiquetado de puntos con etiquetas rectangulares. Esta variante presenta dos modelos: etiquetado con etiquetas fijas, donde cada etiqueta puede ser colocada en un número finito de puntos y etiquetado con etiquetas deslizantes, donde cada etiqueta puede ser colocada de forma que el punto quede situado en cualquiera de los puntos del contorno de la etiqueta. En numerosos problemas de etiquetado (redes de metro, mapas de carretera) los puntos a etiquetar son alineados. Estos modelos de etiquetado son el objeto de estudio de la primera parte de la memoria, donde se estudiará la complejidad computacional de los distintos problemas que se pueden plantear, tanto cuando los puntos estén situados sobre una línea horizontal, como cuando lo estén en una línea oblicua. Estudiaremos, en esta primera parte, tanto los problemas de decisión como los correspondientes problemas de optimización del tamaño de las etiquetas. Motivado por la naturaleza NP-dura de uno de estos problemas (el correspondiente a etiquetados de puntos alineados sobre una línea horizontal con etiquetas rectangulares deslizantes) y de otro problema de etiquetado (etiquetado con etiquetas rectangulares de área mínima y vértices prefijados) y la relación de estos problemas que da origen a todos ellos (problema de conexión de parejas con puntos trazados ortogonales), en la segunda parte de la memoria presentaremos algoritmos de aproximación para estos problemas de optimización del número de etiquetas. Realizaremos esta aproximación, tanto mediante algoritmos deterministas, como mediante el uso de los algoritmos genéticos, con la particularidad de que la codificación presentada es la misma para los tres problemas, a pesar de que los problemas de decisión asociados a cada uno de ellos son de distinta naturaleza, ya que uno de ellos es polinomial y los otros dos son NP-completos, siendo uno de ellos fuertemente NP-completo, mientras que el otro admite un algoritmo pseudo-polinomial

NP-completitud fuerte y débil en problemas de etiquetado

Ministerio de Ciencia y TecnologíaPlan Andaluz de Investigación (Junta de Andalucía

Conexiones ortogonales con vértices prefijados

Junta de Andalucí